MOdélisation, Asymptotique, Dynamique non-linéaire

GDR CNRS 2948

Délégation Régionale Rhône-Auvergne


Session Grenoble 2009 : du 17 au 19 Mars 2009

Résumés des exposés

Elie Bretin ...

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Clément Cancès Écoulements diphasiques en milieux poreux hétérogènes avec champ de pression capillaire discontinu

On considère un modèle simplifié d'écoulement diphasique en milieux poreux fait de plusieurs roches. On se place dans un cadre où le raccord des pressions capillaires au niveau des interfaces n'est pas possible à satisfaire dans un sens usuel, et des conditions de transmission adaptées sont proposées. Des résultats d'existence et de convergence de schémas numériques sont donnés, ainsi qu'un résultats d'unicité dans le cas unidimensionnel.
On regarde ensuite l'asymptotique pour des fonctions «pression capillaire» ne dépendant plus de la saturation, mais uniquement de la roche, aboutissant ainsi à une loi de conservation à flux discontinu. On met en évidence l'apparition de chocs non classiques au niveau des interfaces, modélisant ainsi les phénomènes de piégeage des hydrocarbures.

Frédéric Chardard L'indice de Maslov des ondes solitaires multi-modales

Les orbites multi-modales des systèmes hamiltoniens à deux degrés de liberté peuvent être classées par une suite d'entiers et calculées en utilisant une méthode de tir. Elles apparaissent comme solution de type onde solitaire de l'équation de Kawahara, un modèle pour les plasmas et les ondes de capillarité-gravité. Dans cet exposé, nous faisons l'observation remarquable que cette suite d'entiers permet de déterminer la valeur d'un invariant topologique appelé indice de Maslov. Pour calculer l'indice de Maslov numériquement, il est nécessaire d'intégrer une équation sur Grassmanienne Lagrangienne. Nous décrivons un algorithme basé sur une formulation du problème dans l'algèbre extérieure. Cet invariant compte également les valeurs propres de la Hessienne du Hamiltonien.
Les résultats de Chugunova et Pelinovsky permettent alors de relier l'indice de Maslov au nombre de modes propres instables. Enfin, nous étudions les changements de valeurs de l'indice de Maslov au voisinage des bifurcations-fourche et des coalescences, parfois regroupés sous l'appellation de points de Maxwell.

Florent Chazel Un modèle double-couche de type Boussinesq pour des ondes fortement non-linéaires et dispersives

Dans cet exposé, nous présentons un nouveau modèle de type Boussinesq, dont le but est de pouvoir propager correctement les vagues et leurs cinématiques sur des domaines étendus allant jusqu'à plusieurs kilomètres au large.
La construction du modèle repose sur trois idées: la première est de formuler le problème en fonction d'un opérateur de Dirichlet–Neumann exprimé, non pas à la surface libre de manière classique, mais au niveau de la surface du fluide au repos, de manière à travailler sur un opérateur statique. La seconde idée est de chercher une approximation de cet opérateur au moyen de séries de Taylor tronquées et d'approximants de Padé.
La troisième est enfin d'utiliser une décomposition artificielle du fluide en deux couches de même densité, de manière à diminuer l'ordre des dérivées du problème. Le modèle final comprend ainsi quatre équations (en 2DH) ne faisant intervenir que des dérivées secondes au maximum, et nous montrons via une analyse linéaire et des simulations numériques non-linéaires que le modèle permet de propager des vagues avec précision jusqu'en eaux profondes.

Ahmad El Hajj Transport de dislocations et système hyperbolique

Nous présentons un résultat d'existence globale pour le modèle de Groma–Balogh qui modélise la dynamique des densités de dislocations. Ce modèle est un problème bidimensionnel où les densités de dislocations satisfont un système d'équations de transport non-local. Plus précisément, le champ de vitesse dans ce système est la contrainte de cisaillement du matériau calculée à partir de l'équation de l?élasticité linéaire. Cette contrainte de cisaillement peut être exprimée comme la transformation de Riesz des densités de dislocations. Le point clé de ce résultat est l'existence d'une estimation d?entropie sur le gradient des solutions. Nous présentons également un résultat similaire pour une classe de systèmes hyperboliques.

Gloria Faccanoni Étude d'un modèle de changement de phase liquide-vapeur

On étudie la modélisation et la simulation numérique d'écoulements diphasiques à interfaces avec changement de phase. L'application envisagée est la simulation d'écoulements dans un réacteur à eau pressurisée dans l'industrie nucléaire civile. On s'intéresse ici plus précisément à un éventuel fonctionnement accidentel et en particulier au phénomène de la crise d'ébullition. On modélise les écoulements diphasiques avec changement de phase par un modèle basé sur le système des équations d'Euler fermé par une seule équation d'état obtenue en postulant un équilibre local et instantané des pressions, températures et potentiels chimiques de chaque phase. On en étudie ensuite l'hyperbolicité et le problème de Riemann qui lui est associé. Du point de vue numérique, puisqu'il n'y a pas d'expression analytique pour la loi à l'équilibre dans le cas général, on propose une méthode simple pour approcher cette loi d'état lorsque les propriétés des deux phases sont décrites par des lois très générales, éventuellement sous forme tabulée. Enfin, pour simuler des écoulements diphasiques avec changement de phase, on présente un schéma numérique de type relaxation/projection pour lequel la phase de projection utilise cette approximation de l'équilibre thermodynamique.

Bérénice Grec Écoulements de fluides complexes en films minces

Dans cet exposé, nous abordons différentes problématiques pour des fluides complexes dans des écoulements de faible épaisseur. Dans un premier temps, nous nous intéressons à des écoulements de fluides non-newtoniens décrits par la loi d'Oldroyd-B, qui prend en compte les effets élastiques. Dans le cas où l'épaisseur du domaine tend vers zéro, on trouve heuristiquement une équation limite pour le système Navier–Stokes/Oldroyd. Nous montrons la convergence rigoureuse du système vers l'équation limite, et donnons quelques résultats de régularité sur le système limite. Dans un deuxième temps, nous regardons des écoulements diphasiques en film mince. L'aspect diphasique est pris en compte par un modèle dit «à interface diffuse», le modèle de Cahn–Hilliard. Là aussi, un système limite est obtenu heuristiquement. Celui-ci est un système couplé entre une équation de Reynolds modifiée et une équation de Cahn–Hilliard. Nous nous consacrons à l'étude théorique de ce système, et nous exposons quelques résultats numériques.

Guillaume James Dynamique non linéaire de l'ADN et formation de «breathers»

Sous l'effet des fluctuations thermiques, les paires de bases de l'ADN présentent des oscillations spatialement inhomogènes, avec des vibrations de grande amplitude localisées sur un petit nombre de paires de bases. Ce phénomène, connu sous le nom de «DNA breathing» ou «fluctuations d'ouverture de l'ADN», peut être décrit qualitativement par un modèle constitué d'un grand nombre d'oscillateurs non linéaires couplés.
Depuis sa découverte par Peyrard et Bishop en 1989, plusieurs raffinements de ce modèle ont permis de se rapprocher quantitativement des résultats expérimentaux. L'étude de la dynamique du modèle pose des problèmes mathématiques extrêmement intéressants, liés en particulier aux mécanismes de localisation de l'énergie de vibration. Nous aborderons ces questions en nous penchant sur l'existence d'oscillations périodiques en temps et spatialement localisées (breathers), qui semblent jouer un rôle clef dans la dynamique de vibration de l'ADN.

Jérôme Le Rousseau Sur des questions de contrôlabilité des équations paraboliques

Les questions de contrôlabilité reposent en général sur des méthodes de quantification du prolongement unique.
À travers une revue de cette approche dans le cas des équations paraboliques, on verra certains développements récents qui portent sur l'affaiblissement de la régularité des coefficients, sur des problèmes non linéaires, sur les systèmes couplés. Enfin la question de la contrôlabilité des systèmes paraboliques discrets sera abordée.

Vincent Lescarret Modèle intermédiaire décrivant la propagation d'ondes en variable d'espace

Dans cet exposé on dérive un modèle décrivant la propagation d'ondes modulées dans le cadre de l'optique géométrique non linéaire. Ce sujet, bien que largement traité, est principalement orienté vers le problème de Cauchy. Or les physiciens ont a disposition une donnée mesurée en un point de l'espace. Il est donc plus naturel de dériver un modèle qui décrit l'évolution d'impulsions en variable d'espace. La nature hyperbolique des équations fait que les deux approches diffèrent. Ceci est exacerbé dans le cas d'équations dispersives.

Mihai Maris Sur la symétrie des minimiseurs de certains problèmes variationnels

Les solutions d'un nombre important d'EDP stationnaires sont obtenues comme minimiseurs d'une fonctionnelle, avec ou sans contrainte. L'objectif de cet exposé est de décrire une méthode générale qui permet de montrer que les minimiseurs des fonctionnelles symétriques sont des fonctions symétriques. Un cas particulier des résultats présentés est le suivant: on considère le problème de minimiser E(u) = ∫RN F(u,|∇ u|) dx sous une contrainte Q(u) = ∫RN G(u,|∇u|) dx. On suppose que ce problème admet des minimiseurs et que tout minimiseur est une fonction au moins C1. Alors tout minimiseur est une fonction radiale (modulo une translation dans RN). Notons que ce résultat est vrai pour des minimiseurs à valeurs vectorielles et sans aucune hypothèse supplémentaire sur les fonctions F et G (hormis les hypothèses naturelles qui garantissent l'existence et la régularité des minimiseurs).
Dans le cas des problèmes avec plusieurs contraintes, on montrera que chaque contrainte supplémentaire conduit à la perte d'une direction de symétrie.
On va étudier aussi le cas des fonctionnelles avec termes non-locaux et on va montrer la symétrie des minimiseurs pour des problèmes qui font intervenir les puissances fractionnaires du Laplacien, pour le problème de Choquard généralisé ainsi que pour les ondes stationnaires du système de Davey-Stewartson.

Magali Mercier Stabilité L1 pour des lois d'équilibre scalaires ; Application à l'étude d'une équation de trafic piéton.

Au cours de cet exposé, on s'intéressera au problème de Cauchy pour des lois d'équilibre scalaires de la forme t u + Div f(t,x,u)= F(t,x,u), dont l'usage est fréquent en physique. Par le théorème de Kruzkov, on sait que ce type d'équation admet une unique solution entropique et on peut décrire la dépendance des solutions aux conditions initiales.
La première partie de cet exposé aura pour but de décrire de surcroît la dépendance des solutions de ce genre d'équations par rapport au flot f et à la source F. Le résultat obtenu est d'un intérêt notable par exemple en analyse numérique, mais trouve également des applications plus théoriques, telles que celle exposée en deuxième partie. On s'intéressera en effet en deuxième partie à un modèle de trafic piéton dont le flot est non-local. On montrera alors l'existence d'une solution et la Gâteaux dérivabilité du semi-groupe obtenu. Ainsi, on pourra trouver les points réalisant les extrema d'une fonction de coût correspondant au temps de sortie hors d'une pièce.

Thomas Milcent Théorème d'existence et force de courbure pour un modèle de couplage fluide-structure

Nous considérons une formulation eulérienne de la méthode de frontière immergée de Peskin pour l'étude du couplage d'une membrane élastique et d'un fluide visqueux incompressible. L'interface est calculée comme la ligne de niveau 0 d'une fonction level set advectée par l'écoulement. Une partie de l'élasticité de la structure est alors prise en compte à l'aide de cette fonction level set, ramenant ainsi le couplage fluide-structure à l'étude d'un fluide complexe. Cette formulation nous permet d'obtenir des estimations d'énergie et de montrer l'existence locale de solutions fortes en dimension 3. Dans les applications en biomécanique où une cellule biologique est plongée dans un fluide il est important d'ajouter dans le modèle une énergie de flexion qui s'exprime à l'aide de la courbure de l'interface. Nous proposerons alors différentes méthodes d'optimisation de formes pour calculer la force associée à cette énergie. Nous identifierons les résultats dans le cas où la fonctionnelle dépend uniquement de la courbure moyenne. Nous généralisons ensuite les résultats dans le cas d'une fonctionnelle dépendant de la courbure de Gauss. Nous finirons l'exposé par quelques simulations numériques de formes d'équilibre et de cisaillement de vésicules en 3D.

Grégoire Nadin Existence de fronts plans pour l'équation de Fisher avec un terme de saturation non-locale

Nous nous intéresserons à l'existence de solutions de la forme u(t,x)=U(x-ct) pour l'équation t u - ∂xx u = u(1-φ*u),φ est une densité de probabilité. Cette équation intervient entre autres en génétique ou en écologie. L'absence de principe du maximum pour cette équation pose des problèmes techniques et une partie des propriétés standard pour l'équation locale sont remises en question. L'existence de fronts plans et leurs propriétés dépendent en fait de la portée du noyau de convolution φ et nous caractériserons les différents régimes observés en fonction de cette portée.

Vidian Rousse Validité du propagateur de Herman–Kluk semiclassique et autres «Initial Value Representations»

On cherche à approcher, sur un intervalle de temps borné, le propagateur unitaire associée à l'équation de Schrödinger semiclassique avec potentiel scalaire lisse. Ceci est réalisé à partir d'Opérateurs Intégraux de Fourier à phase complexe quadratique. On peut ainsi obtenir des approximations (en norme d'opérateurs) à toute ordre en le paramètre semiclassique qui reste même valide jusqu'au temps d'Ehrenfest. La stratégie suit celle de la méthode BKW et l'estimation clef repose sur un théorème à la Calderon–Vaillancourt pour ces OIF.