Dans cet exposé, on va presenter un résultat d'existence globale pour le système d'Euler axisymétrique. Ce résultat, consistant à baisser la régularité exigée sur les données initiales, est une amélioration des travaux qui existaient sur le sujet (Ukhovskii et Iudovich 1968, Hirota et Yanagisawa 1994).

Afin de stabiliser un système dynamique de dimension finie par un retour d'état, une méthode bien connue en automatique consiste à calculer une loi de feedback à l'aide de la solution d'une équation de Riccati algébrique. En généralisant ce type d'approche au cas de la dimension infinie, il est possible d'obtenir des résultats de stabilisation pour des systèmes régis par des équations aux dérivées partielles. Dans le cas d'un écoulement de fluide incompressible décrit par les équations de Navier-Stokes, nous parvenons ainsi à calculer une loi de feedback, localisée sur la frontière du domaine, qui stabilise l'état du système. Cette loi se calcule à l'aide de la solution d'une équation de Riccati de dimension infinie, associée à un problème de contrôle optimal lié au système de Oseen (Navier-Stokes linéarisé). Nous présentons ici les principes du calcul de feedback par cette approche "Riccati" en dimension infinie, ainsi que les difficultés liées aux équations de Navier-Stokes. Nous nous intéressons aussi à l'approximation de la loi de feedback et du problème de contrôle optimal sous-jacent. Dans le cas d'une méthode d'approximation par éléments finis, nous donnons des estimations d'erreur pour la solution de l'équation de Riccati, pour le contrôle optimal et pour la loi de feedback.

A venir ...

Ces dernières années, plusieurs variantes du problème de transport optimal de Monge-Kantorovitch ont été proposées afin de prendre en compte le fait que durant un transport effectif de masse, il est souvent intéressant de procéder de manière groupée. On appelle problème de l'irrigation la minimisation d'une fonctionnelle qui encourage la masse à être transportée de manière groupée entre deux répartitions de masse prescrites. Comme nous le verrons, ce problème peut être vu comme la version continue d'un problème déjà étudié par Gilbert dans le cas discret dans les années 60. Cet exposé tachera de passer en revue les résultats d'existence, de stabilité et de régularité des structures de transport optimales ainsi obtenues.

Comme pour un grand nombre d'équations aux dérivées partielles naturellement posées sur R^n, il est nécessaire de réduire le domaine d'étude à un ouvert borné pour effectuer des simulations numériques. Naturellement se pose alors la question : "quelles sont les conditions aux limites adéquates à imposer sur le bord de l'ouvert pour que la restriction de la solution donnée sur tout R^n coïncide avec la solution donnée sur l'ouvert et comment les traiter numériquement?". Nous présenterons dans le cadre de l'équation de Schrödinger les avancées récentes sur cette question et comparerons les différentes techniques d'approximation pour traiter numériquement les conditions aux limites posées sur le bord de l'ouvert.

Le but de l'exposé sera de présenter la dérivation formelle d'un modèle asymptotique pour la propagation des ondes longues de faible amplitude, dans le régime faiblement non linéaire et dispersif, lorsque le fond du domaine présente des variations sur une échelle inférieure à celle de la longueur typique des ondes. Ces variations sont ici modélisées par un processus aléatoire stationnaire possédant des propriétés de mélange. Il s'agit d'un travail en collaboration avec W. Craig, P. Guyenne et C. Sulem.

Résumé a venir ...

Nous étudions la stabilité et l'instabilité orbitale des ondes stationnaires de l'équation de Schrödinger non linéaire avec un potentiel delta de Dirac. Nous discuterons la différence de phénomène entre le cas de Dirac attractif et le cas de Dirac repulsif, en regardant le spectre de l'operateur linéarisé.

Le but de cet exposé est de présenter une méthode purement variationnelle qui permet d'obtenir, pour certains systèmes possédant formellement une structure de gradient, une description complète du comportement asymptotique en temps des solutions pour une grande classe de données initiales caractérisées par leur comportement à l'infini. On illustrera la portée de cette méthode en montrant un résultat de stabilité globale pour les ondes progressives de l'équation hyperbolique amortie u_tt + u_t = u_xx - V'(u), où V est un potentiel de type bistable. On remarquera que cette équation ne possède en général pas de principe du maximum, et qu'on ne sait donc pas obtenir de résultats globaux par d'autres méthodes. Le contenu de cet exposé est un travail en commun avec Romain Joly (Grenoble), basé sur des idées introduites par Emmanuel Risler (Lyon).

Une flamme accrochée se modélise, en première approximation, par un système de deux équations de réaction-diffusion dont la première, décrivant la température, est posée sur une demi-droite. La deuxième équation, décrivant la fraction massique de réactant, est posée sur la droite réelle tout entière. Cette particularité - apparemment assez innocente - engendre d'assez fortes instabilités dont la dynamique de celles-ci est décrite, dans un article de G. Joulin, par une équation différentielle à retard. Nous discuterons d'une version mathématiquement rigoureuse de ce résultat.

Nous étudions un modèle de film ferromagnétique mince où l'aimantation est décrite par un champ de vecteurs 2d unitaires. Plus précisément, on s'intéresse aux couches limites (appelées parois de Néel) qui connectent deux aimantations opposées. L'objectif est de montrer l'optimalité de la paroi de Néel 1d sous des perturbations 2d. Cela repose sur un résultat de compacité des aimantations dans le régime d'énergie correspondant à un nombre fini de parois. C'est un travail effectué en collaboration avec Felix Otto.

De nombreux travaux d'océanographes ont montré la validité des équations de Saint-Venant pour la description des phénomènes associés aux vagues dans la "zone de surf". En particulier, la théorie hyperbolique permet de bien décrire les phénomènes de dissipation d'énergie au travers des fronts d'ondes (chocs). Concernant la simulation numérique de ces phénomènes, certains points restent délicats, en particulier la simulation des phénomènes de découvrement/recouvrement que l'on observe sur la plage. Dans cette optique, un nouveau modèle numérique est présenté ici, associant solveur de Riemann approché de type VFRoe, préservant la positivité, et approche well-balanced pour prendre en compte les termes sources. Une extension vers un schéma well-balanced d'ordre élevé permettant de gérer les fonts découvrants sera introduite, suivie de quelques applications.

On etudie dans deux cadres distincts la dynamique d'EDPs au voisinage de la bifurcation homocline a un noeud-col. La premiere etude concerne des EDPs ou la bifurcation de codimension deux homocline separatrice a un noeud-col apparait dans la dynamique (EDO) des solutions spatialement homogenes. On s'interesse a la stabilite vis-a-vis de perturbations de grande longueur d'onde spatiale des solutions spatialement homogenes proches de l'homocline. La seconde etude propose un modele qui exhibe une emission periodique de type I de structures localisees.

Dans les dispositifs électroniques dont les ordres de grandeur atteignent une dizaine de nanomètres, les effets quantiques ne peuvent plus être négligé. Nous nous sommes donc intéressés à la modélisation et l'analyse mathématique du transport d'un gaz d'électrons confiné dans un nanotransistor. Dans un tel dispositif, les directions ne jouent pas toute le même rôle : les électrons peuvent être extrêmement confinés dans une direction alors que dans les autres directions le transport s'effectue de manière classique. Dans cette étude, nous présentons l'analyse mathématique et numérique d'un système couplé quantique-classique, le couplage intervenant dans les variables spatiales. Dans la direction de transport, du aux nombreuses collisions avec les phonons, le mouvement des électrons est décrit au régime diffusif par le système de dérive-diffusion. Dans la direction transverse, l'énergie est quantifiée en niveau. Le modèle des sous-bandes est utilisé pour modéliser le confinement. Le système complet obtenu est donc un système dérive-diffusion couplé avec le système Schrödinger-Poisson. Une analyse mathématique de ce système a permis d'établir l'existence de solutions et leur comportement en temps long. Une simulation numérique modélisant le transport dans une nanotransistor de type MOSFET a été effectuée.