DYNAMO
DYNamique non-linéaire, Asymptotique, MOdélisation

Dans son sixième problème, énoncé à l'occasion du congrès international des mathématiciens en l'an 1900, David Hilbert demandait une étude axiomatique des principes physiques de la mécanique. Notamment, inspiré par les travaux de Ludwig Boltzmann, il proposait d' "établir et discuter au point de vue mathématique d'une manière complète et rigoureuse les méthodes basées sur l'idée de passage à la limite, et qui de la conception atomique nous conduisent aux lois du mouvement des continua." En mettant l'accent sur la dérivation du système de Navier-Stokes-Fourier incompressible à partir de l'équation de Boltzmann, nous proposons de parcourir certains progrès mathématiques récents sur l'étude des limites hydrodynamiques de l'équation de Boltzmann apportant ainsi une réponse partielle au formidable sixième problème de Hilbert.

La régularisation des solutions d'équations d'évolution est un phénomène bien connu pour les opérateurs paraboliques. Un résultat général surprenant remontant aux travaux de Kato (1983) est que, malgré leur réversibilité, les équations dispersives peuvent aussi satisfaire une version très affaiblie de cette régularisation. Dans leur analyse du problème de Cauchy pour le modèle d'Euler-Korteweg, Benzoni Danchin et Descombes introduisent une reformulation du système se présentant (grossièrement) comme une équation de Schrödinger dégénérée. Une telle approche clarifie la nature dispersive du problème et indique la possibilité d'un effet de "régularisation dispersive". Nous décrirons durant cet exposé quelle est la stratégie pour démontrer ce genre de phénomène, quelles sont les hypothèses supplémentaires à formuler, et dans quelle cette mesure celles-ci sont naturelles.

Classiquement, l'équation de Schrödinger dépendant du temps est posée sur l'espace entier. Afin de calculer numériquement des solutions, l'espace doit être tronqué en un domaine de calcul borné et des conditions aux limites appropriées doivent être imposées à la frontière. On abordera dans cet exposé la construction de différentes familles de conditions aux limites absorbantes pour l'équation de Schrödinger avec un potentiel général variable non linéaire en deux dimensions d'espace. Plusieurs schémas numériques semi-discrets en temps sont construits pour le problème aux limites associé. Plusieurs expériences numériques permettront de comparer l'efficacité et la précision des diverses conditions aux limites et schémas numériques.

L'intuition commune est qu'au contact d'un fluide, une paroi rugueuse génère plus de friction qu'une paroi lisse, et par conséquent accentue les phénomènes de traînée. Cependant, il existe dans la nature des exemples de parois rugueuses qui favoriseraient le déplacement du solide. Un exemple frappant est fourni par la peau du requin. En nous appuyant sur un résultat récent de Bucur, Feireisl et Nečasová, nous étudierons la dépendance de la traînée par rapport aux micro-rugosités de la paroi, la forme microscopique de l'obstacle étant fixée. Nous montrerons l'existence d'une micro-structure optimale et illustrerons ces résultats par des exemples numériques.

On étudie la diffusion d'un soluté transporté par un fluide, avec des réactions possibles entre les constituants ou des processus d'adsorption surfacique se produisant aux interfaces solide/fluide. On peut penser par exemple aux systèmes chromatographiques, aux réacteurs hétérogènes de la technologie chimique et catalytique... On choisit une géométrie simple, un écoulement de Poiseuille dans un capillaire. Le but est d'obtenir rigoureusement un modèle mis à l'échelle pour des temps convectifs en se concentrant sur les effets induits par l'anisotropie de la vitesse et la cinétique, et en gardant des hypothèses réalistes de non séparation des échelles. On retrouve le phénomène de dispersion de Taylor couplé à des termes de retard complexes. Les modèles à l'échelle permettent l'évaluation des effets de diffusion augmentée et/ou de diffusion anormale en fonction de "l'intensité" des réactions.

De nombreuses applications industrielles nécessitent de modéliser des écoulements compressibles à deux phases (écoulements eau-vapeur dans les conduites de réacteurs, mélanges turbulents de plasmas...). Un modèle simple (barotrope) est constitué par les équations de conservation de la masse et de la quantité de mouvement de chaque phase, couplées à travers des forces de traînée et l'équilibre thermodynamique des pressions, supposé très rapide. On s'intéresse aux propriétés des solutions de ces systèmes du point de vue de l'existence globale, stabilité et comportement des solutions lorsqu'une phase ou les deux sont faiblement compressibles.

Le modèle de Ginzburg-Landau (1958) permet d'appréhender le phénomène de supraconductivité. Depuis les années 90, un grand nombre de travaux mathématiques étudient une version simplifiée de l'énergie conjecturée par Ginzburg et Landau. L'intérêt de cette simplification réside en grande partie dans la description des défauts de vorticité (destruction de la supraconductivité dans le matériau) qui peuvent apparaître dans le supraconducteur sous l'effet de différents facteurs. Dans cet exposé nous nous intéresserons à une variante du modèle simplifié décrivant l'état d'un supraconducteur hétérogène. Nous nous intéresserons à l'influence de petites hétérogénéités (impuretés) dans la position des défauts de vorticité (phénomène de "pinning"). En particulier, on expliquera un effet étonnant dû à la petitesse des impuretés. Ce travail a été effectué en collaboration avec Oleksandr Misiats.

Le but de cet exposé est de présenter des résultats théoriques et numériques récents concernant la structure et les propriétés des états stationnaires localisés de l'équation de Schrödinger non linéaire avec un potentiel quadratique. Il s'agit du modèle mathématique idéal intervenant dans la description d'un condensat de Bose-Einstein plongé dans un champ magnétique. Ce phénomène correspond à un état particulier d'un gaz de bosons à très basse température et a été prédit par Albert Einstein dès 1924.

Dans cet exposé on s'intéressera à des modèles capillaires décrivant le comportement de mélanges liquide-vapeur. On montrera en particulier la convergence du modèle de Korteweg non local vers le modèle de Korteweg local. On s'intéressera également à l'intérêt théorique que présentent de tels modèles pour les lois de conservations, à savoir sélectionner les solutions physiques lorsqu'un système n'est pas strictement hyperbolique et que la théorie classique sur les solutions entropiques n'est pas suffisante. On détaillera en particulier le cas du système d'Euler compressible avec une pression de type Van der Waals. Ce travail est en collaboration avec Frédéric Charve (Paris 12).

Dans la modélisation de certains fluides non-newtoniens, on obtient les équations des fluides de grade deux. Ces équations dépendent d'un coefficient matériel positif. Lorsque ce coefficient est petit, les équations des fluides de grade deux sont une perturbation singulière des équations de Navier-Stokes. Dans cet exposé, nous étudierons le comportement asymptotique en temps long des équations des fluides de grade deux données sur le plan. En introduisant des changements de variables d'échelle et en établissant des estimations d'énergie dans des espaces de Sobolev à poids polynomiaux, nous montrerons que, sous une condition de petitesse sur la donnée initiale, les solutions des fluides de grade deux convergent vers le tourbillon d'Oseen. Nous donnerons aussi une estimation du taux de convergence. Nous généralisons ainsi au cas des fluides de grade deux certains des résultats obtenus par Th. Gallay et E. Wayne dans le cas des équations de Navier-Stokes dans le plan.

Lorsque la viscosité est variable, la résolution par volumes finis du problème de Stokes nécessite l'approximation du gradient de vitesse dans toutes les directions. Dans cet exposé, je présenterai des schémas de type DDFV (discrete duality finite volume) dont l'idée est d'introduire un jeu supplémentaire (par rapport à la méthode volumes finis standard) d'inconnues placées aux sommets du maillage. Une estimation d'erreur sera donnée et illustrée par des tests numériques. Pour finir, je montrerai qu'il est possible de prendre en compte de manière consistante d'éventuelles discontinuités de la viscosité.

La recherche de solutions auto-similaires pour les équations de Navier-Stokes (gouvernant l'évolution de la vitesse d'un fluide homogène et incompressible) est un problème important associé à l'éventuel comportement asymptotique en temps des solutions globales de ces équations: la question est ouverte lorsque la donnée initiale est quelconque dans un espace critique. Nous étudions des approximations des équations de Navier-Stokes compatibles avec la recherche de ce type de solutions: pour ce faire, nous utilisons un modèle préservant le changement d'échelle et vérifiant une égalité d'énergie. En reprenant la méthode de construction initiée par P.-G. Lemarié, nous construisons, lorsque la donnée initiale est quelconque dans un espace critique, des solutions globales, d'énergie nergie finie, au modèle étudié: nous montrerons qu'elles convergent vers des solutions des équations de Navier-Stokes adaptées au sens de Caffarelli, Kohn et Nirenberg et qu'elles satisfont à un résultat partiel d'unicité.

Les méthodes de dynamiques spatiales couplées aux méthodes de variétes centrales et forme normales ont permis dans de nombreux cas de décrire avec beaucoup de précision les ondes de faible amplitude apparaissant autour d'un équilibre (équations d'Euler pour la théorie des vagues, systèmes de réaction-diffusion, etc.) Deux outils clefs dans l'étude de la dynamique du problème sont la recherche de variétes invariantes (dont les variétes centrales) et les méthodes de formes normales pour étudier les équations réduites sur ces variétés. L'étude du lien entre ces deux outils permet de montrer des théorèmes de variétes quasi-invariantes (à des termes exponentiellement petit près) qui piègent la dynamique pendant des temps très grands.

Dans le cadre de la modélisation de phénomènes complexes, tels que les écoulements multi-phasiques, il est fréquent de rencontrer différentes échelles de modélisation, suivant le niveau de précision requis. Cela conduit à l'utilisation de plusieurs modèles selon les échelles d'espace et de temps mises en jeu. On s'intéresse dans cet exposé au développement de méthodes théoriques et numériques pour le couplage adaptatif de deux systèmes hyperboliques. Il s'agit en particulier de déterminer automatiquement les domaines (en temps et en espace) dans lesquels chaque modèle doit être utilisé, selon le degré de précision. On introduit pour ce faire des estimateurs locaux de l'erreur de modélisation et les méthodes numériques de couplage associées.

Je décrirai dans cet exposé certains aspects numériques liés à la simulation d'écoulements incompressibles à trois phases non miscibles, à l'aide d'un modèle à interfaces diffuses de type Cahn-Hilliard (les interfaces sont représentées par des zones d'épaisseur faible mais non nulle) couplé aux équations de Navier-Stokes. Je montrerai comment l'utilisation de discrétisations en temps semi-implicites peut pallier aux problèmes de convergence de la méthode de Newton utilisée pour résoudre le système (non linéaire) de Cahn-Hilliard. L'étude théorique (existence des solutions approchées, stabilité et convergence) de ces discrétisations sera illustrée par diverses tests numériques. Je montrerai qu'il est possible de construire une discrétisation inconditionnellement stable pour le modèle Cahn-Hilliard/Navier-Stokes ne couplant pas fortement les systèmes de Cahn-Hilliard et Navier-Stokes discrets. Enfin, je présenterai les techniques de raffinement local que nous utilisons pour capturer les différentes échelles présentes dans le système (les interfaces sont de petite taille devant les dimensions du domaine).

On s'intéresse à la limite haute fréquence pour l'équation de Helmholtz sur R^n. La particularité est qu'on autorise un indice d'absorption variable (mais tout de même positif), ce qui nous amène à étudier la résolvante d'un opérateur de Schrödinger non-autoadjoint (mais tout de même dissipatif). En adaptant la méthode des commutateurs de Mourre à un cadre dissipatif, on commence par montrer des estimations uniformes pour cette résolvante. On étudiera ensuite les mesures semi-classiques de la solution lorsque le terme source se concentre sur une sous-variété bornée de l'espace.

Dans cet exposé, on s'intéressera à la stabilisation, autour d'une solution stationnaire instable, des équations de Navier-Stokes en dimension deux et dans le cas d'observations partielles. Deux étapes apparaitront dans cet exposé. Dans un premier temps, nous utiliserons les informations obtenues par ces observations partielles afin de construire une solution approchée des équations de Navier-Stokes. Puis, cette solution approchée sera utilisée dans la loi de contrôle que nous considèrerons. Un système (reliant la vraie solution et la solution approchée) sera alors à étudier, et nous obtiendrons un résultat de stabilisation locale des équations de Navier-Stokes.